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Journée Poisson 2016
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Résumés des exposés



poisson



Anne Pichereau (Institut Camille Jordan, Saint-Etienne)

Structures de Poisson $\Z_2$-graduées et cohomologie (en petites dimensions).

Cet exposé présente un travail en commun avec Michaël Penkava (Univ. Wisconsin-Eau Claire). Nous considérons des structures de Poisson $\Z_2$-graduées, c'est-à-dire des structures de Poisson définies sur des algèbres polynomiales graduées commutatives, avec $m$ générateurs pairs et $n$ générateurs impairs (algèbres symétriques d'espaces vectoriels $\Z_2$-gradués de dimension $m|n$). Le premier but de cet exposé est de rappeler les définitions de ces structures et de la cohomologie qui leur est associée. Puis, nous expliquerons certains des résultats que nous avons pu obtenir en petites dimensions ($0|1$, $1|1$, $2|1$, ...) : classifications de ces structures de Poisson, cohomologie. Nous en profiterons pour nous attacher particulièrement à mettre en évidence certaines des différences et des analogies entre le cadre $\Z_2$-gradué et le cadre non gradué, par exemple concernant les liens, présents dans les deux cas, entre singularités et cohomologie de Poisson.




Yasmine Fittouhi (Laboratoire de Mathématiques et Applications, Poitiers)

Courbe hyperelliptique + Structure de Poisson + Système de Mumford = 59 minutes d'émerveillement.

L'exposé consistera en deux parties: Dans la première partie, on introduira le système de Mumford associé aux courbes hyperelliptiques lisses et singulières qui portent une famille de structures de Poisson compatibles qui nous permettront de définir des Hamiltoniens ainsi que des Casimirs. Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons aux degrés de liberté de ces Hamiltoniens et la relation avec la jacobienne de la courbe hyperelliptique lisse associée et éventuellement avec la jacobienne généralisée dans le cas des courbes hyperelliptiques singulières.




Laurent Poinsot (LIPN, Univ. Paris 13, et Ecole de l'Air, Salon de Provence)

Sur l'enveloppe wronskienne d'une algèbre de Lie différentielle.

La relation fonctorielle bien connue entre les algèbres associatives et les algèbres de Lie peut bien sûr s'étendre facilement aux algèbres associatives différentielles et aux algèbres de Lie différentielles, c'est-à-dire aux mêmes structures munies d'une dérivation. Si on se restreint aux algèbres différentielles commutatives, il y a une autre façon de faire, bien différente, qui consiste à remplacer le commutateur par un autre crochet de Lie, à savoir le wronskien. Le foncteur considéré dans ce cas, comme dans la théorie classique, est algébrique, et donc admet un adjoint à gauche, ce qui conduit à la notion d'enveloppe associative commutative différentielle universelle, l'enveloppe wronskienne, d'une algèbre de Lie différentielle. D'autres structures différentielles, telles que les algèbres de Lie-Rinehart, les algèbres de Poisson ou encore les algèbres de Jacobi, apparaissent assez naturellement dans ce contexte, et, de leurs relations fonctorielles, on peut tirer d'autres notions d'enveloppes universelles. J'en dirai donc quelques mots durant cet exposé, et parlerai également du problème d'immersion d'une algèbre de Lie (différentielle) dans son enveloppe wronskienne.




Thierry Lambre (Laboratoire de Mathématiques, Clermont-Ferrand)

Algèbre enveloppante  et théorème de Poincaré Birkhoff-Witt pour des algèbres de Poisson singulières.

Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt est un résultat classique de théorie de Lie. Une algèbre de Poisson est simultanément une algèbre et une algèbre de Lie. L'origine de la notion d'algèbre enveloppante pour une algèbre de Poisson remonte aux travaux de G. Rinehart, qui a montré un théorème PBW pour les algèbres de Poisson lisses. Dans un travail récent avec Cyrille Ospel (la Rochelle) et Pol Vanhaecke (Poitiers), nous avons généralisé ce dernier résultat pour certaines algèbres de Poisson singulières. Après diverses descriptions d'algèbres enveloppantes de Poisson, nous donnerons quelques éléments de la démonstration de ce théorème PBW en situation singulière.




Gwénaël Massuyeau (IRMA, Strasbourg)

Crochets de Poisson sur les algèbres de représentations généralisant les structures d'Atiyah-Bott-Goldman.

Goldman a montré comment calculer à partir d'intersections de courbes le crochet de Poisson induit par la structure symplectique d'Atiyah-Bott sur la variété des représentations d'un groupe de surface dans un groupe de Lie. Nous présenterons des généralisations algébriques de ces formules de Goldman pour lesquelles le groupe de surface est remplacé par une algèbre de Hopf cocommutative, et le groupe de Lie par un schéma en groupes affine. Nous expliquerons aussi comment cette construction générale s'applique aux variétés de dimension >2. (Travaux en collaboration avec Vladimir Turaev.)




Jacques Alev (Laboratoire de Mathématiques de Reims, Reims)

Différence algébrique entre l'algèbre de Poisson et l'algèbre de Weyl.

L’étude de certains groupes d'automorphismes qui sont des groupes algébriques de dimension infinie mène à la question de l'isomorphisme de leurs algèbres de Lie. Ainsi en étudiant les automorphismes des algèbres standard de Poisson et de Weyl, il s'agit de distinguer l'algèbre de Lie-Poisson Pois(2) de l'algèbre de Weyl A(1). Nous présenterons quelques propriétés algébriques pour les comparer.




 

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